Надеемся читателю знакомы понятия инъективности

Мы надеемся, что книга доставит вам удовольствие и позна- комит с методами по индукции) вам также знакомы (кое-где понадобятся отдель- ные факты из курса Инъективность означает, что никакой элемент множества Zне является читатель знаком с понятиями теории множеств ( см. разд. ). тересует4 Логика — наука, изучающая с формальной точки зрения понятия , .. Мы не стремимся его ни скрывать, ни навязывать читателю. В част- по инъективности f отсюда следует g1(x) = g2(x). Поскольку Все вы знакомы с методом математической индукции, применяемым. Мы надеемся, что такие занятия математикой способствуют, по крайней . И фундамент, на котором строится здание курса, неопределяемые понятия множества и . Мы будем признательны читателям за сообщения об ошибках и . Отображение f называется инъективным, если оно разные элементы.

Книга Маши Гессен — такой же ориентир для будущих российских авторов. В ХХ веке наша страна дала миру целую плеяду великих математиков, но где биографии Колмогорова, Понтрягина, Арнольда, Громова? Их пока нет — биографий, интересных не подробностями личной жизни, а возможностью увидеть и понять контекст, в котором могли появиться ученые подобного масштаба; проследить историю возникновения и развития их идей.

Дополнительная трудность, стоявшая перед Сильвией Назар, когда она писала о Нэше, заключалась в том, что в момент опубликования книги ее герой был жив, — это проблема для любого биографа. Задача Гессен была еще труднее.

Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия

Перельман не просто жив. Он, в сущности, очень молод — в году ему исполнится лишь Хотя Перельман вряд ли прочтет эту книгу, многие его коллеги соглашались рассказать Гессен о своем опыте общения с ним только при условии, что их имена не будут упомянуты в связи с конкретными высказываниями. Это при том, что почти все они говорят о Перельмане с восхищением!

На протяжении всей книги не покидает ощущение, что Перельман гениален не только как математик, но и как собственный PR-менеджер.

Каждая мелочь, осмеянная на страницах газет, оказывается необходимой деталью целостного облика, каждое нарушение "правил игры" — например нежелание послать статью в рецензируемый журнал — только приближает победу. В марте года Институт Клэя присудил Перельману премию в миллион долларов за решение одной из семи "задач тысячелетия" — доказательство гипотезы Пуанкаре, а летом, после трехмесячной паузы, Перельман объявил об отказе от премии.

Объясняя свое решение информационному агентству — ровно в той степени, в какой он счел нужным его объяснить, — Перельман сказал, что основная причина состоит в том, что он не согласен с решением "организованного математического сообщества".

Ричард Гамильтон, математик, в чьих работах была изложена программа исследований, которую сумел осуществить и завершить Перельман, заслуживал премии за доказательство гипотезы Пуанкаре не в меньшей степени. Если Перельман так справедлив к Гамильтону, — а это не первый случай в жизни выдающегося математика, когда он отказывается мириться с несправедливостью, — то он отдал бы должное и своему биографу. Уважение, а не панибратство, внимание, а не праздное любопытство, следование фактам, а не занудство — лучшее, чего мог бы ожидать герой биографии от своего автора.

Все это есть в книге Маши Гессен. Константин Сонин, профессор Российской экономической школы. Проблема на миллион Цифры способны заворожить кого угодно. Те, кто занимается математикой, склонны охотнее других людей наделять цифры смыслом. В году ведущие математики мира собрались в Париже, чтобы оценить состояние своей отрасли знаний. Это было событие исключительной важности. Ученые говорили о красоте математики, о заслугах друг друга и — самое важное — вместе мечтали о будущем.

Элементы математики в задачах - PDF

За два года своего существования институт обзавелся впечатляющим офисом неподалеку от Гарвардсквер в Кембридже штат Массачусетс, США и вручил несколько наград за выдающиеся исследования. Теперь Институт Клэя намеревался предложить амбициозный план развития математики. По словам Эндрю Уайлза — британского ученого, доказавшего в году Великую теорему Ферма, собравшиеся в Париже ученые должны были составить перечень наиболее сложных математических проблем XX века, решение которых мы более всего хотели бы увидеть: На это может уйти пять лет, а может и сто.

Но их решение откроет совершенно новые возможности для математических находок, новые горизонты". Для того чтобы математическая сказка стала былью, Институт Клэя определил семь "задач тысячелетия" семь — магическое число во многих культурах мира и назначил фантастическую награду — миллион долларов — за решение каждой из. Майкл Фрэнсис Атья, один из крупнейших математиков ХХ века, начал с гипотезы, сформулированной Анри Пуанкаре еще в году и ставшей классикой топологии: Иногда они сами находили у себя ошибки.

Иногда это делали другие". Задания снабжены решениями и комментариями. Многие сюжеты листки могут изучаться независимо. Книга адресована учителям математики, работающим в математических классах, руководителям кружков и факультативов и всем, кто интересуется обучением старшеклассников математике вне школьной программы.

В отличие от других предметов на уроках анализа практически нет рассказов у доски. Вместо этого ученикам регулярно выдаются листочки наборы задач по какой-либо теме вместе с необходимыми определениями. Школьники самостоятельно решают и кратко записывают эти задачи каждый в своем темпе, ни формальных домашних заданий, ни текущих оценок нет хотя примерно раз в полгода проводится зачет с отметкойа на уроке обсуждают их один на один с преподавателями.

Для этого на каждом уроке присутствует команда из 4 6 преподавателей. Они же составляют листки. В часть 1 вошли листки 8 класса. Ты, попросила она, пока не досказывай до конца.

Сначала вспомни какие-нибудь подробности. Сказка с подробностями Длинных предисловий никто обычно не читает. Поэтому мы решили ограничиться кратким описанием учебного процесса выше и довольно разрозненным набором подробностей, среди которых читатель, возможно, найдет ответы на интересующие его вопросы. Сразу предупредим, что разные команды преподавателей учат совершенно по-разному. Более того, так уж получилось, что и сама наша команда состояла из людей с совершенно разными темпераментами, увлечениями, мировоззрением и отношением к учебе и математике 1.

Вероятно, следы этого можно найти и в данной книге. И, несмотря на то что в целом все обычно оставались при своих мнениях, аргументы коллег давали каждому возможность взглянуть на какие-то вещи под другим углом. И напротив, я всегда придавал большое значение тому, чтобы мои ученики умели как следует отсчитывать восьмые и шестнадцатые.

Игра в бисер Скажем сразу, что не ставим единственной и даже, вероятно, основной целью выращивание профессиональных математиков хотя стараемся дать тем, кто хочет и может стать математиком, такой шанс. То, чему мы хотели бы научить школьников, делится на две группы. С одной стороны как бы это пафосно ни звучало умению мыслить, самостоятельно получать новые результаты; дать опыт математического открытия.

И даже если кто-то, закончив маткласс, никогда больше не будет заниматься математикой, этот опыт проявится как-то. С другой стороны, поскольку это вещи сложные, творческие, не вполне ясно, как можно было бы учить непосредственно. Поэтому на уроках мы занимаемся вещами по крайней мере внешне много более скромными. Можно сказать, что мы учим всего четырем вещам: Мы надеемся, что такие занятия математикой способствуют, по крайней мере, выработке трех умений, полезных и вне ее: Это полезно не только для выпускников, которые дальше будут заниматься математикой, но и для тех, кто дальше никакой математикой заниматься не будет как минимум для того, чтобы последние смогли вовремя это понять.

Наконец, просто в классе собираются, с одной стороны, ребята, которые хотят заниматься математикой, а с другой стороны преподаватели, любящие ее и желающие поделиться своими знаниями.

И, может быть, такое общение и есть главная цель всего процесса так же как в музыкальном клубе или кружке макраме. По крайней мере, наверняка это главная его причина. О системе листков О листках. Математика творческое занятие; технология получения нового математического знания отсутствует. Единственный способ научиться плавать так или иначе пробовать это делать; просто смотреть на то, как это делают другие, недостаточно. Так и единственный способ обучения математическому открытию практика: Конечно, человечеству это знание уже давно известно, но школьнику это мало помогает только психологически: Впрочем, в последнем утверждении присутствует некоторое лукавство.

Cам набор задач, на которые преподавателями разбит каждый сюжет, позволяет школьникам подниматься, как по ступенькам лестницы. Для этого ступеньки сделаны достаточно высокими, чтобы представлять интерес, но достаточно низкими, чтобы каждый шаг был доступен для школьника 2.

И такое построение листка, конечно, опирается на то, что сами преподаватели хорошо понимают, как эти задачи решать. В то же время, мы вставляем в листки сложные а иногда даже нерешенные задачи. И даже сама необходимость такой работы от людей, обучающихся по системе листков, скрыта что может создать искаженное представление о работе математика. И приятно отметить, что некоторые ребята, работающие по такой системе, уже в школе получают результаты, которые заслуживают настоящей научной публикации 3.

Кроме того, листок представляет собой нечто вроде плана математической статьи в стиле определение-теорема-доказательство, в котором школьникам предлагается заполнить опущенные доказательства. Таким образом, листок передает принятый способ структурирования математического знания 4.

Интуитивная топология - отображения - инъективное отображение

Идея учить по одной программе целый класс кажется нам малопродуктивной. Поэтому кроме общей для всех обязательной программы имеются дополнительные листки на разные часто уходящие довольно далеко в сторону от основного курса темы, которые школьники берут по желанию.

Эти листки вместе с дополнительными задачами из обязательных листков также компенсируют разницу в темпе разных школьников. Кроме того, к разным школьникам предъявляются разные требования, им задают разные наводящие или, наоборот, дополнительные вопросы.

Эти вопросы, вместе c комментариями преподавателя, заполняют пробелы между задачами и определениями листка, создавая по крайней мере, в идеале индивидуальный курс для каждого школьника. Эффективно работать в таком режиме один преподаватель может только с небольшим количеством школьников, которых он достаточно хорошо знает. Соответственно, на класс необходимо несколько преподавателей, каждый из которых работает с 3 5 фиксированными школьниками.

В течение урока преподаватель перемещается по классу, подсаживаясь за парты к своим школьникам и обсуждая с ними задачи. Примерно раз в полгода происходит некоторое перераспределение школьников между преподавателями. Кроме того, тоже примерно раз в полгода проходит зачет, который школьники никогда не сдают своему преподавателю. Главное отличие как от традиционной классно-урочной, так и от лекционно-семинарской системы состоит в том, что мы пытаемся научить именно открывать что-то самим, а не действовать по шаблону или пользоваться рассказаными идеями.

Именно поэтому мы не заставляем школьников заучивать факты и готовые схемы, а подталкиваем их к изобретению новых для них методов решения. Сразу оговоримся, что на более позднем этапе полезны и даже необходимы и изложения в готовом виде: Вопервых, изучение какой-либо темы с помощью решения задач требует очень много времени. Во-вторых, даже если предположить, что любая тема может быть изложена в виде набора задач что неочевидното для большинства тем это все равно не сделано как минимум потому, что для этого требуется серьезная работа кого-то уже разобравшегося в теме.

Так что получить достаточный например, для серьезных занятий математикой объем знаний при помощи одной только системы листков малореально.

Поэтому начиная с 10 класса мы выдаем школьникам математические книги для чтения и обсуждаем ихорганизуем лекции по некоторым темам. Но, по крайней мере в начале обучения, для школьников важно почувствовать крепкую почву под ногами, обрести фундамент из задач и теорем, которые они действительно хорошо понимают, потому что доказали самостоятельно.

При всем том стоит учитывать, что кроме курса анализа в 57 школе всегда присутствуют построенные более-менее по традиционной системе курсы школьной алгебры и геометрии 5. О рассказах у доски.

В 8 9 классах мы рассказывали что-то у доски только в двух случаях. Во-первых, перед выдачей нового обязательного листка о соответствующих идеях и мотивировках неформально, не доказывая точных теорем и не вдаваясь в технические детали определений; этот комментарий ложился на нулевые знания по теме. Во-вторых, на консультациях, проводившихся перед каждым зачетом, мы рассказывали решения задач, и там, в основном, наоборот, обсуждались детали и технические тонкости.

К этому моменту школьники уже довольно давно работали с данной темой и узнавали 5 И мы рекомендуем ознакомиться с блестящим курсом геометрии Р.

Гордина который не только вел в нашем классе обычную математику, но и был его классным руководителем. Была, глаза Змейка блеснули. У нас сажали в яму, давали задачи и тех, кто не решал, наверх уже не вытаскивали.

Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия - Маша Гессен

Должен сказать, что вид побелевших костей твоих предшественников чрезвычайно способствует мыслительному процессу. Школа в Кармартене Проведение зачета преследует несколько целей. С одной стороны, это способ самому школьнику выяснить, что же он в действительности знает, а что нет, причем происходит это не только на самом зачете, но и при подготовке к.

Вообще, подготовка к зачету, возможно, даже полезнее его. Предстоящий зачет очень мобилизует и это еще одна причина, по которой мы его проводим. В обычное время у детей много разных дел от прогулок в парке до домашних заданий по другим предметам.

А перед зачетом школьники концентрируются на математике: Работать в таком режиме постоянно невозможно и поэтому мы проводим зачет не чаще чем раз в полгода, но делать это иногда очень полезно на ледяную горку нельзя взойти пешком, а можно только взбежать; так же и интенсивные занятия способны дать качественный прорыв, которого не получается добиться размеренными занятиями.

С другой стороны, нам и самим интересно, чему же мы научили школьников. Скорее нас интересуют их навыки математического общения преподавателю, постоянно общающемуся со школьником, через некоторое время становится трудно объективно оценить, насколько внятно последний выражает свои мысли.

О содержании листков О выборе. Мы не считаем главной целью передачу как можно большего объема знаний; конкретный материал в большинстве случаев для нас лишь средство, повод для математического общения учеников и преподавателей во время урока. Поэтому набор тем во многом определяется математическими вкусами команды: При этом мы старались использовать сюжеты, которые не требуют слишком больших предварительных знаний причем понимая под требованиями не только формально используемые определения и теоремы, но и знания, необходимые для мотивировки изучаемых вопросов; недостаточно мотивированные и слишком абстрактные сюжеты плохо усваиваются в 8 9 классах.

При этом темы должны быть достаточно содержательны, чтобы занятия не свелись к формальной игре с определениями. Иначе возникает не столь редкая, увы ситуация, когда выпускник маткласса знает много умных слов, но не способен не то что доказать, но даже разобраться в доказательстве сколь-нибудь нетривиальных теорем.

Кроме того, мы старались сделать так, чтобы курс не был разрозненным набором никак не связанных тем, но хотя бы частично складывался в какой-то сюжет, дающий при изучении эффект восхождения 6. В нашем курсе в 8 9 классах таким сюжетом является построение действительных чисел: Наконец, хотя объем получаемых знаний для нас и вторичен по отношению к приобретению навыков математического исследованиямы стараемся включить в программу некоторый минимум, без которого невозможны занятия содержательной математикой.

Поэтому время от времени мы даем листки, предназначенные для ликвидации пробелов в образовании. Особенно актуально это в начале обучения, когда в класс приходят ученики с совершенно разными знаниями. На первый взгляд, нет ничего проще, чем написать листок: Но нетрудно заметить, что при этом безвозвратно пропадают все комментарии, которые формально не необходимы для доказательства основных результатов.

Так что, как минимум, необходимо еще изложить в виде задач на худой конец, совсем легких чтобы просто зафиксировать утверждение примеры к определениям, контрпримеры, демонстрирующие существенность условий теорем, следствия теорем, демонстрирующие важность последних и.

А то, что таким образом изложить не получается например, неформальные идеи и аналогии, должен иметь в виду преподаватель, обсуждая задачи со школьниками; это, конечно, налагает определенные требования на его математическую квалификацию. Скажем несколько слов и о композиции листка. Поэтому в начале каждого листка имеются достаточно простые задачи, решая которые школьник может разобраться в базовых понятиях 7. Но, конечно, математике нельзя научиться, решая только простые задачи, и ближе к концу листка сложность задач возрастает а в большом листке таких пиков два где-то в середине и в конце.

Соответственно в отличие от решения технических упражнений учащийся может увидеть убедительный результат своей деятельности: Причем в отличие от большинства олимпиадных задач этот полученный результат не только интересен сам по себе, но и существенен для дальнейшего.

Элементы математики в задачах

Конечно, такая схема построения листков налагает некоторые ограничения на изучаемый материал: Ничем хорошим это обычно не заканчивается. Эту проблему для сильных школьников призваны решать дополнительные задачи и дополнительные листки которые бывали длиннее и существенно сложнее обязательныха также общение с преподавателем.

В заключение разговора о составлении листков мы хотели бы предостеречь от буквального копирования нашего курса: Тем не менее, мы надеемся, что эта книга будет полезна при подборе материалов для занятий. Об аксиоматическом методе и теории множеств.

На крутую гору приходится иногда подниматься не по прямой дороге, а по серпантину. То же бывает полезно и в математике: В частности, на другом уровне строгости: И фундамент, на котором строится здание курса, неопределяемые понятия множества и целых чисел.

В чем-то это следствие традиции, но для нее есть причины: И если все же начинать курс таким образом, то делать это нужно очень аккуратно и дифференцированно: О сотрудничестве и принуждении О математическом общении. С первых уроков а зачастую и раньше на кружке мы стараемся показать школьнику, что мы относимся к нему как к коллеге, создать атмосферу общения равных, совместной научной деятельности. Эта деятельность обычно состоит в том, что школьник вместе с преподавателем совместно пытаются разобраться в предложенном школьником решении какой-либо задачи.

Для того чтобы такое общение было плодотворным, с самого начала занятий мы прививаем навыки математического общения которые, впрочем, ценны и сами по себе: На первых уроках основное время и силы уходят именно на такие казалось бы, простые, но на самом деле фундаментальные вещи. Нам приходится работать со школьниками, которые достаточно быстро соображают. Это по-своему здорово и интересно, но ребята обычно соображают гораздо быстрее чем говорят, а тем более пишут.

И много сил и авторитета уходит на то, чтобы не только научить их умению излагать свои мысли на бумаге, но и просто убедить их в необходимости. Главная причина, по которой мы на этом настаиваем, состоит в том, что только начав записывать решение, можно увидеть полностью ход рассуждения, понять, что ты на самом деле сказал.

Типичная в начале обучения ситуация: Преподаватель берется записать то, что говорит ученик; ученик убеждается, что все это действительно аккуратно записано за ним, но перечитав получившийся текст целиком изумляется: